1.鸡兔同笼的问题
【含义】这是一道经典的算术题。知道笼子里的鸡和兔子的头和腿的数量，求出鸡和兔子的数量的问题称为第一鸡和兔笼问题。知道鸡和兔的总数以及鸡爪和兔爪的区别，求出鸡和兔的数量的问题称为第二鸡和兔笼问题。
【数量关系】
第一个鸡兔笼问题：
①假设都是鸡，还有兔子
＝(实际脚数－2×鸡兔总数)÷(4－2）
②假设都是兔子，那么就有鸡
=(4×鸡兔总数-实际脚数)÷(4-2）
第二个鸡兔笼问题：
①假设所有鸡，兔子的数量=（2×鸡和兔子的总数-鸡和兔脚的差）÷（4 + 2）
②假设所有的兔子，那么鸡的数量=（4×鸡和兔的总数+鸡和兔脚的差）÷（4 + 2）
示例 1：鸡和兔子在一个有 35 个头和 94 个脚的笼子里。有多少只鸡和兔子？
解决方案：假设笼子里全是鸡，每只鸡有 2 英尺，那么总共应该有 35×2.70 英尺，但实际上有 94 英尺。作为鸡，每只兔子比鸡多2英尺，一共94-70=24（个），那么兔子有24÷2=12（个），那么鸡有35-12=23（只）。
示例 2：动物园里有 70 只鸵鸟和长颈鹿。其中，鸵鸟的脚比长颈鹿多80英尺。有多少只鸵鸟和长颈鹿？
解：假设都是鸵鸟，有70×2=140（只）
140-80=60（仅限）
60÷6=10（仅）
鸵鸟：70-10=60（仅限）。
例3：李阿姨的农场养了一批鸡和兔子，一共144条腿。如果把鸡的数量和兔子的数量互换，总共有 156 条腿。总共有多少只鸡和兔子？解：根据题意，可以得到：
前后鸡总数=前后兔总数。
将 1 只鸡和 1 只兔子视为一组有 6 条腿。前后鸡兔腿总数为144+156=300（条），所以一共300÷6=50（组），即鸡兔总数为50。
示例 4：数学测试只有 20 道题。答对加5分，答错扣3分。乐乐这次考试得了84分，那么乐乐答对了多少题呢？
解：如果20道题全部答对，应该得到20×5=100（分），但实际得分为84，即100-84=16（分）。 1道错题和1道正确题相差5+3=8（分），所以漏掉的16分就是16÷8=2（题）错了。一共20道题，乐乐答对了20-2=18（道题）。
2.流水问题有以下六个基本公式：
慢水速=船速+水速(1）
回水速度 = 船速 - 水速 (2）
水速 = 下水速度 - 船速 (3）
船速=下水速度-水速（4）
水速=船速-上游速度（5）
船速=上游速度+水速（6）
船速=（下游速度+上游速度）÷2（7）
水流速度=（下游速度-上游速度）÷2（8）
示例 1：
一艘渔船在水下行驶 25 公里需要 5 个小时，水流的速度为每小时 1 公里。这艘船在静水中的速度是多少？ （适合高级）
解决方案：这艘船的下水速度为：
25÷5=5（公里/小时）
因为“下水速度=船速+水速”，所以这艘船在静水中的速度是“下水速度-水速”。
5-1=4（公里/小时）
综合公式：
25÷5-1=4（公里/小时）
答案：船在静水中以每小时 4 公里的速度行驶。
示例 2：
一艘渔船在静水中以每小时 4 公里的速度航行，逆流在 4 小时内以每小时 12 公里的速度航行。水的速度是多少公里每小时？ （适合高级）
解：这艘船在上游水域的速度是：
12÷4=3（公里/小时）
因为逆水的速度=船的速度-水的速度，所以水的速度=船的速度-逆水的速度，即：
4-3=1（公里/小时）
答案：水的速度是每小时一公里。
示例 3：
船顺流时速 20 公里，逆流时速 12 公里。船在静水中的速度和水流的速度是多少？ （适合高级）
解：因为船在静水中的速度=（顺流速度+逆流速度）÷2，所以船在静水中的速度为：
(20+12）÷2=16(km/h)
因为水流的速度=（下游的速度-上游的速度）÷2，所以水的速度为：
(20-12）÷2=4(km/h)
显然。
示例 4：
一艘船在静止的水中以每小时 18 公里的速度行驶，水的速度为每小时 2 公里。这艘船从A到B逆流航行需要15个小时。A和B之间的距离是多少公里？这艘船从 B 到 A 需要多少小时？ （适合高级）
解：这艘船逆流航行的速度为：
18-2=16（公里/小时）
A和B之间的距离为：
16×15=2.0（公里）
这艘船的速度是：
18+2=20（公里/小时）
这艘船从 B 地返回到 A 地所需的时间是：
240÷20=12（小时）
显然。
示例 5：
一艘船在静水中的速度为每小时 15 公里，从上游港口 A 到港口 B 需要 8 小时。已知水的速度为每小时 3 公里。这艘船从B港返回A港需要多少小时？ （适合高级）
解：这艘船的速度是：
15+3=18（公里/小时）
A和B之间的距离为：
18×8=144（公里）
这艘船逆流航行的速度是：
15-3=12（公里/小时）
这艘船从B港返回A港所需时间为：
144÷12=12（小时）
综合公式：
(15+3）×8÷(15-3）
=144÷12
=12（小时）
显然。
3.火车过桥
基本行程问题有如下公式：
速度×时间=距离
距离÷速度=时间
距离÷时间=速度
火车过桥的距离=桥的长度+火车的长度
<1>火车遇上火车：
距离之和=两列火车长度之和
<2>火车追逐和追逐：
距离差=两列火车长度之和
植树问题
[含义] 等距离种植树木。在距离、树间距和树数这三个量之间，其中两个是已知的，第三个是必需的。这种类型的应用问题称为植树问题。
【数量关系】线性植树：一端植树：树数=间隔数=距离÷树间距。 -1=距离÷树距离-1 圆形植树：树数=间隔数=距离÷树距离正多边形植树：一周总树数=每边树数×边数-个数每边的树数=一周内的树总数÷边数+植树1面积：树数=面积÷（树距×行距）
例1：植树节快到了，少先队将在相距72米的两栋楼之间种下8棵杨树。如果两端不种植，每两棵树的平均距离应该是多少米？
解法：1、本题考查植树问题两端没有种好的情况。解决此类问题的关键是要理解树的数量比区间的数量少1。
2、因为树的数量比区间数少1，所以有8+1=9个区间，每个区间的距离是72÷9=8米。
3、所以每两棵树之间的距离是8米。
例子2.有一个挂钟每小时敲一次，在什么时间敲几下，敲6下，敲5秒； 12 次打击，打击多少秒？
分析（类比讨论）：
有人会盲目的追随多重关系，误以为10秒就完成了，这是完全错误的。其实这个问题只要打个比方五年级奥数牛吃草问题，结合植树问题想一想，把植树线分成几段（株距），如果不包括这两个端点，一共（n -1） 需要种树) ，如果包括两个端点，一共需要种(n+1） 棵树)，时钟索引视为一棵树，敲时间看成树之间的距离，问题很容易解决。
6.遇到/跟进问题
示例 1：
时针指向4点后多少分钟，时针刚好与分钟重合。
分析（类推）：
这个问题可以类比行程问题。如图2.11，如果以时针在1小时内走过的距离单位作为距离单位，那么这个问题可以重新表述为：已知两地之间的距离分针和时针是4个方格，分针
如果分针和时针同时向同一方向移动，请问：分针后多少分钟可以赶上时针？这类似于行程问题中的追赶问题。 4是距离差，速度差是，重叠时间是追赶时间。
7.牛吃草
【含义】“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的一个问题，又称“牛顿问题”。这类问题的特点是要考虑边吃边长草的因素。 【数量关系】总草量=原草量+日长草量×天数【解决思路与方法】解决这类问题的关键是找到日长草量。例1：这是一个新鲜的牧场，有400株草，每天平均种植6株草。如果从 26 头奶牛开始，每头奶牛每天会吃 1 份草。这个牧场多少天有足够的草喂牛？
解答：1、本题考查牛吃草的问题。解决这个问题的关键是要求每天新增的草量。在问的问题中，让几头牛吃掉新的草，剩下的牛吃原来的草。 2、从标题可以看出：原草量+新长草量=总草量。牛除了吃老草，还吃新草。原来的草量保持不变。新草的数量每天以恒定的速度生长，每天长 6 份草，每头牛每天吃 1 份，新长出的草刚好够 6 头奶牛吃，剩下的 20 头奶牛吃原来的。草，一天吃20份，400÷20=20（天），够20天了。
例2：水库有一定量的原水，每天将河水均匀地储存在水库中。 5个泵可连续排空20天； 6 个相同的泵可以连续排空 15 天。 6 天的排水需要多少个相同的泵？
解决方案：让每台水泵每天抽 1 份水。 5台水泵抽水20天：5×20=100（台） 6台水泵抽水15天：6×15=90（台） 每天蓄水量：（100- 90）÷(20-1 5）=2（件） 原水蓄水量：100-20×2.60（件） 所需泵数：60÷6+2=12（套）答：排水需要6天五年级奥数牛吃草问题，同一台水泵需要12天。
示例 3：一个车站在检票前几分钟开始排队，每分钟到达的乘客数量相同。从开始检票到排队等候检票，4个检票口同时开需要30分钟，5个检票口同时开需要20分钟。如果同时打开7个检票口，需要多少分钟？
解答：1、本题考查牛吃草的问题。 “乘客”相当于“草”，检票口相当于“牛”。
2、从标题可以看出，乘客总数由两部分组成：一是在检票开始前已经排队的原乘客，二是新的旅客开始检票后。假设在一个门检票一分钟的人数是一个。那么4个检票口30分钟检票4×30=120（个），5个检票20分钟检票5×20=100个（个）。那么每分钟新增客户数为20÷10=2（份）。那么原始客户总数为：120-30×2=60（份）。同时打开7个检票口，我们可以让2个检票口通过新客户，剩下的5个检票口通过老客户，需要60÷5=12（分钟）。
8.时钟问题
【含义】就是研究时针和分针在钟面上的关系，比如两只手的重合度、两只手的垂直度、两只手的对齐、角度两只手之间的夹角是60度等。这种问题可以转化为行程问题。后续问题。
【数量关系】分针的速度是时针的12倍，两者的速度差为5.5度/分。它通常被视为后续问题，也可以计算为差异问题。 【解题思路与方法】两针重叠后直接使用公式即可，两针垂直，两针在一条线上，两针夹角为60°。
例1：时针指向钟面上的8点后多少分钟，时针第一次与分针重合？ （精确到 1 分钟）
解：1、这类题可以把钟面看成一个圆形轨道，所以这个题相当于行程题中的后续题，即分针与时针是 240°。
2、分针每分钟比时针多转6°-0.5°=5.5°，所以需要240÷5.5≈ 44（分钟）。即从8点开始，44分钟后，时针与分针第一次重合。
示例 2：从早上 6 点到下午 6 点，钟面上的时针和分针重叠了多少次？
解决方案：我们可以把钟面看成一个圆形轨道，这样分针和时针的转动就可以转化为追赶问题。从早上6点到下午6点，一共过去了12个小时，分针还要走12个小时。 12圈时，时针只能跑1圈，分针比时针多跑12-1=11（圈），而分针每比时针多跑1圈，就会赶上用时针一次，也就是和时针重叠一次，所以12小时内，两根针一共重叠了11次。
例3：一部记录中国军事时代变迁的纪录片，时长两个多小时。小明发现，纪录片结束的时候，手表上的时针和分针的位置刚好和开头的时针和分针的位置互换了。这部纪录片有多长？ （精确到 1 分）
解决方案：1、解决这个问题的关键是要实现时针和分针的组合距离为1080°，然后将其转化为遇到问题来解决。
2、两个小时以上，分针和时针的位置互换了，所以分针和时针走过的距离之和正好是三个圈，也就是，分针和时针一起走360°×3=1080°，分针和时针每分钟走6°+0.5°=6.5°，所以需要1080 ÷6.5≈166（分钟）移动1080°，也就是这部纪录片时长166分钟。
9.方阵问题
<1>基本公式：
1>最外层人数：
①每边人数×4－4
四个角数不止一次，所以减去4
②(每边人数-1）×4
把最外面的正方形分成4等份，也可以理解为一个圆形的植树问题，求段数。
2>方阵总人数：每边人数×每边人数
<2>其他属性：
(1）相邻两层每边人数相差2；
(2）相邻两层楼每层人数之差8.
解：2. (16－3）x 3 x 4= 180(件) 答：(略)
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